Ответственность за сохранность отправления несёт перевозчик — то есть таксопарк, самозанятый водитель или водитель - ИП. Исключение — если у посылки нет упаковки, либо есть, но повреждённая. Тогда ответственность на отправителе.
За содержимое посылки отвечает отправитель. Внутри не должно быть денег, лекарств, вещей, которые могут испортить салон машины, запрещённых предметов. Полный список исключений смотрите здесь. В основном с помощью «Доставки» будут отправлять документы и забытые вещи.